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数学思维——从已知走向未知的道路

发布时间：2023/10/31 14:14:13

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大家好！我是刘德禹老师，今天想从我的自身学习与教学经历上谈一谈数学学习的一个重要的思路方法。我认为好的的数学的思考逻辑应该是相近的，通往真理的道路也许不止一条，但方向总是相同的。希望家长朋友们和同学们能从中得到一些印证

经过了初等数学的熏陶与训练，感知了高等数学的优美发散与思维碰撞，又在教学经历中见证了许多学生在数学上面对的困境与不足，我认为不少同学在中学阶段的数学学习中，可能普遍还存在着这样一个困惑：数学学科到底在学习什么？

如果说小学阶段数学的核心任务是认识数量关系、练习计算能力，是算术的筑基阶段，那么初中阶段的数学学习就是“登堂入室”，正在跨越初等数学大门的门槛。这个门槛其实就是解决问题的逻辑思维能力，或者说，数学逻辑思维能力，我们的zui终目的就是解决问题，当然，公式或者图形不像日常生活中的买菜做饭这么具象，但步骤和过程是可以以此类比的

具体地来说，就像要盖一间房子，需要准备材料、画好图纸，再从地基开始一点一点构建一样，解决数学问题也要先掌握公理与定理，熟悉结论与公式，再形成分析问题的思路。无论是代数、几何还是函数问题，我们都是从这一逻辑出发来解决相应的问题。

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遇到任何一个推理性的问题，可以尝试着按照以下问题提问自己：

①观察未知量——仔细观察，未知量是什么？

②观察已知量——再看，已知量是什么？

③已知量和未知量怎么发生联系？有时联想做过题目，有时联想定理公式，有时分解定义，有时拆分一个个条件，有时更改题设，有时结论反推。

这整个过程，和在荒岛上建造一座房子的过程十分相似：
①（未知数）紧盯目标，要一座房子
②（已知条件）有什么材料或者工具
③（联系）怎么用手头这些材料建造一个房子出来？
首先思考未知数：房子是什么？我曾经造过房子吗？我记得在书中小明曾经建过一个房子，他是怎么建的？
然后思考已知条件：我有木头、斧子、钉子，这些东西有什么用途？我以前用过吗？
然后寻找联系：怎样从这些材料到建造房子呢？报一个木屋建造培训班？寻找一些以往建房子的资料模仿一下？回到定义看看是不是房子的定义中就有一些建造的方向？

如果以上还是没有想出来，没关系，那就看答案吧。着重关注，答案是怎么想出这个结论的，每看一步答案，就要提问自己，“这一步怎么想到的？为什么自己在思考过程中没有想到？”大多数情况下，有两个原因：

1.对条件的积累不足，也就是说，你还没有彻底理解哪些木头斧子钉子是拿来干什么的以及曾经用来干过什么；

2.未知量的积累不足，反推建造一个房子需要什么材料和手续，你完全没有相应的积累，当然想不出来。

而具有数学逻辑思维能力的人，他们用无数种材料建造过无数类型的房子，并且这一切深深地刻在他们的脑海里，无论出现材料还是房子，无论是木屋、别墅、高楼大厦，他们都能联想到曾经实施过种种方案，甚至，在这无数种方案中，能找到一条非常新鲜的组合创新方案！

换言之，这个过程也解释了这个问题：为什么学习数学不能只刷题？因为刷题主要是为了积累案例，积累模型，熟练知识为了以后看到条件或者未知数能够被触发。如果没有以上的思考过程，刷题只是一个重复性的程序，带来的效果可能仅是期望于在碰到换数据的相同题型时可以免去重新思考这样一个优势，是事倍功半的做法。

总而言之，初等数学阶段的学习目标仍然是解决问题，并且这个问题不会太过于抽象。正因如此，模仿--推导--实现的路径仍然是高效且实用的。如果说在培养数学逻辑思维能力的道路上，终点是进入数学与真理的殿堂的话，当我们能够有意识、有规划地造出一间间“房子”，形成一座座摩天楼之后，我们会发现自己已经悄然置身于殿堂之内。

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