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2023年SAT进入及机考时代，数学四大板块要点解析！

发布时间：2023/10/13 10:19:25

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SAT自2023年进入及机考时代（美国本土滞后一年依然保持纸笔考），各个板块在形式与内容上都有一定程度的变化。

就结构流程而言，在以前的纸笔考中数学在section3和section4两个板块，而现在的数学也差不多，只不过名称换了，统称Math section，然后分成modules1和modules2。但也不仅仅是换了一个名称，因为modules2的难度是基于考生modules1完成的情况来调整的，通俗来讲就是“modules1你做得越好那么modules2就会越难，反之则会越简单”。当然越难的题目对应的得分就会越高；也即所谓的“adaptive test”。整体的题量如下图所示：

所以数学部分考试时长为70min，总题量为44道，但是每个modules中包含了两道pretest questions 是不参与计分的，它们主要是用于平衡和评价各场考试的难度差异，帮助主办方更加科学地去对考生的成绩进行评分！

就改革框架而言，改革后SAT数学的内容从大纲来看几乎没有变化，比较明显的差异是新版大纲没有提及complex number这个概念，所以后面大概率这个知识点是不考了。我们可以先来看看题型的形式：

注：按每个modules按20道题计算（即不考虑那两道pretest questions）

此外，数学板块的内容则可参考如下表格（仅宏观知识板块）：

就考查内容部分，接下来我们根据这四个板块来进行较为详细的介绍和分析。

Algebra 🦘代数

SAT数学考试中包含了多个数学知识点，其中代数（Algebra）是其中一个重要的部分。以下是SAT数学代数知识点部分的概括和介绍：

基本代数操作：

加法、减法、乘法和除法：理解和应用这些基本运算是解决各种数学问题的基础。

例题：

如果 a = 3 且 b = 5，求 a + b 的值。

代数表达式：

代数表达式是包含变量、常数和操作符的数学表达式，如：2x + 3。在SAT中，你需要能够简化、展开和操作这些表达式。

例题：

化简表达式 2(x + 4) - 3x。

一次方程和不等式：

一次方程和不等式是一种包含一个未知数的代数等式，如：2x - 5 = 7。你需要能够解这些方程和不等式，找出未知数的值。

例题：

解方程 3x + 2 = 11。

多项式：

多项式是包含多个项的代数表达式，如：3x^2 - 2x + 5。你需要理解多项式的性质，如次数、系数和因式分解。

例题：

因式分解多项式 x^2 - 4。

函数：

函数描述了输入和输出之间的关系。你需要理解函数的图像、定义域、值域以及如何表示函数。

例题：

给定函数 f(x) = 2x + 1，计算 f(3) 的值。

绝对值：

绝对值是一个数距离零的距离，你需要知道如何解决包含绝对值的方程和不等式。

例题：

解不等式 |2x - 3| < 5。

坐标平面：

在坐标平面上，你需要理解坐标点、斜率、截距、直线方程和距离公式等概念。

例题：

给定两点 A(3, 4) 和 B(7, 2)，求线段 AB 的斜率。

SAT数学的代数部分通常被认为整体难度不是很大，但它确实考验学生的理解能力和仔细程度。这一部分主要涉及基本的代数概念和技能，但在解题时需要学生运用这些概念来解决多步骤的问题。以下是SAT数学代数部分的特点：

基本概念：SAT数学代数部分包含了基本的代数概念，如方程、表达式、和函数。这些概念在学生的数学学习中通常都有涉及。

1.多步骤问题：虽然问题看似简单，但它们通常需要学生进行多步骤的推理和计算。学生需要能够正确地应用代数技能，从问题的陈述中提取信息，并采取适当的步骤来解决问题。

2.精确性要求：SAT数学代数部分强调精确性和仔细程度。小的计算错误或疏忽可能导致错误的答案。因此，学生需要在解题时格外小心，审查他们的工作，以确保没有疏忽。

3.代数表达式的操作：学生需要能够简化、展开和操作代数表达式，以便有效地解决问题。这可能涉及到因式分解、合并同类项或配方法。

Advanced Math 高等数学

SAT机考的Advanced Math部分：

SAT机考的Advanced Math部分旨在评估考生在数学领域的更高级别技能，其中特别侧重了对二次函数的三种主要形式和顶点知识点的理解。

1. 二次函数的三种形式：

在Advanced Math部分，考生需要精通三种主要形式的二次函数：

a. 标准形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。学生需要了解如何从标准形式中提取信息，如顶点坐标和开口方向。

b. 顶点形式：y = a(x - h)^2 + k，其中( h, k)是顶点坐标。学生需要知道如何从顶点形式中识别顶点以及如何画出函数的图像。

c. 交点形式：y=a(x-r1)*(x-r2)，其中r1，r2抛物线的x轴焦点

2. 顶点的知识点：

机考Advanced Math部分将更严格地考察顶点的相关知识：

学生需要能够确定二次函数的顶点坐标，并理解顶点如何影响二次函数的图像，包括平移、缩放和反转等。

这些要求增加了机考Advanced Math部分的难度，因此考生需要更深入地掌握二次函数的各种形式以及与之相关的数学概念。除了二次函数，Advanced Math部分还包括其他高级数学内容，如多项式、radical equation、指数函数等。因此，备考时需要更广泛的数学知识和更高的数学技能。

SAT机考的Advanced Math部分与多项式：

在SAT机考的Advanced Math部分，多项式是一个关键的数学知识点。多项式是一个包含多个项的代数表达式，每个项由一个常数系数和一个指数幂组成。这个部分要求考生深入了解多项式的性质和操作。

1. 多项式的性质：

次数：多项式的次数是其zui高指数幂的次数。考生需要理解多项式的次数如何影响其图像，以及如何确定多项式的次数。

系数：多项式的系数是每个项前面的常数。学生需要知道如何通过系数来确定多项式的特征，如根和图像的形状。

根（零点）：多项式的根是使多项式等于零的值。考生需要了解如何找到多项式的根，并理解它们如何与多项式的图像相关联。

2. 多项式的操作：

因式分解：学生需要知道如何因式分解多项式，特别是二次多项式，以便找到其根。

合并同类项：多项式中可能包含相似的项，学生需要了解如何将它们合并为更简单的形式。

多项式的图像：考生需要能够根据多项式的性质和方程绘制其图像，以便解答与图像相关的问题。

SAT机考的Advanced Math部分与指数函数：

在SAT机考的Advanced Math部分，指数函数是一个关键的数学概念。指数函数通常以以下形式表示：f(x) = a^x，其中a是一个常数，x是指数。这个部分要求考生深入了解指数函数的性质和应用。

指数函数的性质：

底数（基数）：底数a是指数函数的一个重要部分，它决定了函数的增长趋势。不同的底数会导致指数函数的不同行为。

指数：指数x决定了底数a的次方。它可以是实数，而不仅仅是整数，这使得指数函数具有更广泛的应用。

增长和衰减：学生需要了解不同底数和指数值对函数增长和衰减速度的影响，以及如何描述指数函数的图像。

Problem-Solving and Data Analysis 问题解决与数据分析

首先我们来看官方是如何对这个板块的考查内容进行描述的：

Using quantitative reasoning, students will fluently solve problems using percentages, proportional relationships, ratios, rates, and units; analyze and interpret distributions of data; use various representations of data to find relative frequency, probabilities, and conditional probabilities; fit models to data and compare linear and exponential growth; and calculate, compare, and interpret mean, median, range and standard deviation, understand basic study design, and interpret margin of error, all from high school courses preparatory for the math aligned with college and career readiness expectations.

可以看出，此板块考查了不少常见的基础概念，譬如分数，小数以及百分数的意义及其之间转换，单变量数学问题以及概率的求解；同时，也会考查一些部分同学可能没有学习到过的知识点，譬如standard deviation和margin of error等。具体来说，这个板块会如何来考查学生相关的知识点呢，我们来看官方的说法：

这个板块的考查比例有所下降，从纸质版本的约30%下调到了约15%（考查5-7道题），为之前的一半；但是它的重要程度依然不可小觑，因为这个板块涉及到的概念和方法会与其它板块的知识点有所交集，所以不能单纯地看它的占比来评价它的重要性，当然机考改革之后扣分可能会非常恐怖也是原因之一。毕竟，咱们的目标是满分！

就内容而言，对于比率比例和分数小数等基础概念相信绝大多数的学生都有学习过，内容相对简单，但是我们依然要注意常见考点的坑及其相关的解题思路，以下面这道题为例：

Clayton will mix x milliliters of a 10% by mass saline solution with y milliliters of a 20%by mass saline solution in order to create an 18%by mass saline solution. The equation above represents this situation. If Clayton uses 100milliliters of the 20%by mass saline solution, how many milliliters of the 10% by mass saline solution must be use?

这便是一种非常常见的数学模型：即两种不同浓度的溶液相混合，得到不同浓度的新溶液。此类问题关键点便在于两个“不变”：混合前后的体积之和不变 & 混合前后的溶质质量不变，因为混合前后体积不变，我们可得到混合后溶液的体积为（x+y）milliliters，再根据混合前后溶质质量不变可得下式：

0.10x + 0.20y = 0.18( x + y )

然后我们再根据题目的要求，将y溶液的体积带入上式便可得到所求答案了。

至于Statistics数理统计板块，我们至少要知道如下的几个基础概念：

Mean 平均值

Median 中位数

Mode 众数

Range 级差

Outlier 离群值

Standard Deviation 标准差

Box-whisker Plot 箱型图

其中Standard Deviation 标准差的概念值得引起大家的注意，因为在练习和实考之中这是一个常见的易错点，如下题：

平均值mean的计算想必大家都没有问题，但是考试的时候我们其实是没有那么多时间的去进行此类题型的计算的，一方面是因为平均值的计算比较麻烦（虽然简单），另一方面是实考中的module 2的时间是非常紧张的。所以我们要对常见的数据特征非常熟悉，譬如此题之中的两组数据都是对称的，所以其平均值必然为“对称轴”上面，即Data Set A的平均值为22，Data Set B的平均值为23。

其次Standard Deviation的公式为：

但是大纲有明确的说明不需要考生进行标准差的计算，所以我们只需要理解这个公式，然后忘记它！从公式结构能够看出来，Standard Deviation描述了数据的离散程度，也就是说：若是数据🈷越分散，那么Standard Deviation就越大，若是数据越集中，那么Standard Deviation就越小（此处为狭义的描述，但用在本考试之中一定没有问题）。故而可以非常直观地判断出Data Set A的Standard Deviation是比Data Set B的Standard Deviation要大的，因为它更加分散。

而关于概率的问题这个地方不作多的讨论，只是提醒一下大家一定要注意conditional probability的概念。具体来说，就是在SA天数学的考查之中，所以的概率相关的题目都要注意讨论范围和讨论对象的限定，不要默认讨论数据为题干之中的所有数据。如下题：

在这个题目里面我们注意提问句中的前半段便限定了讨论的范围：If one of the stocks that increased in value in August is chosen at random，提问的对象是那些“increased in value in August”的stocks，而不是所有的stocks，问的是在这些stocks里面“increased in value in July的stocks的比例。只要把题目之中的信息之间的关系搞明白了，此类题型还是很简单的。

zui后，数理统计板块关于抽样调查的出题角度比较多，试题之中也常常会给到一些我们不熟悉的场景来将数学问题具体化（文字往往偏多），这样的形式导致了不少同学在读题的环节容易把题目理解错，或是没有明白题目的含义，所以相关的题型需要大家多加练习，做多了见多了自然就不难了。不过这个板块依然存在不少同学可能没有学过的概念，譬如抽样调查的理论及margin of error等概念。

Sampling Survey 抽样调查：抽样调查是一种非全面调查，抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，并运用概率估计方法，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法。抽样调查虽然是非全面调查，但它的目的却在于取得反映总体情况的信息资料，因而，也可起到全面调查的作用。

Margin of Error 边际误差：标准定义很复杂，我们也没必要去记忆。这里我们可以这么来理解它：边际误差即是允许的误差的范围，在SAT数学里面常以“测量值+/—Margin of Error”来表达，如：

此题之中，4.5为样本平均值的测量值，而Margin of Error为0.5，故总体数据的平均值的估计值应该落在4.5±0.5这个范围之中。所以这个概念本身并不难，它是基于sampling的基础之上，对于样本测量结果的更加精确，或是说科学的一种描述手段而已！

Geometry and Trigonometry 几何与三角函数

首先我们来看官方是如何对这个板块的考查内容进行描述的：

可以看出，此板块考查了不少常见的基础概念，譬如三角形，四边形，圆形以及一些常规图形组合出来的非常规图形等；同时，也会考查一些部分同学可能没有学习到过的知识点，譬如圆的标准方程和三角函数trigonometry等。具体来说，这个板块会如何来考查学生相关的知识点呢，我们来看官方的说法：

这个板块的考查比例有所上升，从纸质版本的约10%上调到了约15%（考查5-7道题），比之前多了一半；可见机考改革之中几何板块的考查比重变大了，不仅是考查的数量比例在增大，根据考生们的反馈来看，几何板块的难度也有明显的提升，这一点其实在纸质版本的zui后机场就有苗头，那几场出现了不少相对较难的几何题（考查了部分原题，难度较大的几道）。

就内容而言，常见的几何图形，如三角形，矩形，梯形等多边形，都是非常基础的，内容相对简单，但是我们依然要注意常见考点的坑及其相关的解题思路，同时不要忘记了bluebook考试过程数学板块的右上角会出现这样的两个按钮：

其中的的calculator这里就不多做赘述了，因为咱们有单独的文章进行讲解分析，那个reference其实就是纸质版本之中section 3和section 4前面的公式表。当然，我是更加建议大家要背下来的，因为它们不仅是公式，更是咱们解题的思路本身，如图：

这个公式表之中的每一个公式都是重点，都强烈建议大家背下来，特别强调一下第1排的zui后两个special right triangles，一定要对相关的特殊值非常敏感！如下题：

由于图中的三角形为直角三角形，所以我们可以直接讨论这个特殊直角三角形的变长比例关系来进行求解，因为它的三边之比为：1:2:√3（注意不要把变长的比例关系比错位了！）

当然了，我们也可以利用三角函数的知识来帮助我们分析求解，对于三角函数板块SAT考查的并不是很多，但是至少我们要知道直角三角形中三角函数的表达，以及一个三角函数公式：

有不少同学容易把上面的边长关系记错，所以有“SOHCAHTOA”这个口诀，有相同问题的同学可以取用！有如下题：

此类题型都建议多动手写写画画，因为它虽然不难，但是很容易一不小心把点或是边弄错，此题只需要将图形画出来，把ABC都正确地对应上，再直接套用上面的结构即可知 sin C = BC/AC = 0.8。这道题其实还体现了三角函数板块另外一个重要公式：

sin(90º-α)= cosα

cos(90º-α)=sinα

有没有发现，上一道题目里面的sinC正好就等于cosB，这边恰好是上面的公式背后逻辑的体现。如题：

In right triangle XYZ, sinα=cos20º，What is themeasure, in degrees, of angle α？

如果我们知道上面的两个三角函数的公式，那么便知道α与20º互余，进而得知α为70º的答案了！

当然了，除了平面几何相关的图形，SAT数学还可能会考查坐标几何，此类题型只要能够灵活地掌握平面几何相关的知识点了，相关的题型做起来也会得心应手，因为它知识把平面几何的图形放到了坐标系之中去进行探讨而已，本质没有区别。不过，其中还是有些细节是需要我们知道的，譬如圆的标准方程便是一个常见的考点。所有的圆都可以用如下的式子来进行表达：

（x - a)²+ (y - b)² = r²

其中（a，b）为圆的圆心坐标，r为圆的半径。常见考题就是需要我们将原题之中的结构变形为便准表达式，这样圆的特征就能一览无余了。当然了，也有反过来进行考察的角度，如下题：

A circle in the xy-plane has its center at (1, −7) and has a radius of 3. An equation of this circle is x²+y²+ax+by+c =0 . What is the value of c ?

我们知道，只要确定了圆的圆形及半径，那么圆边能够被唯一确定下来。所以我们可以利用题干之中的信息将圆的标准表达式写出来，然后再展开与x²+y²+ax+by+c =0这个结构做对比，便能直观地得到c的值了！

以上便是SAT机考改革之后数学板块的考查核心重点了，希望通过本文的讲解，能够帮助大家更加直观而深入地了解这个板块的考查要点，能够给到正在备考的你一点帮助，也祝大家早日拿到自己满意的成绩！

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